逻辑学

命题

对命题的几个由浅入深的理解:

命题是一种可以被肯定或否定的东西。命题判断了事情是(或不是)如此这般。

任一命题必是或真或假的,尽管我们可能并不知道某一特定命题究竟是真的还是假的。“宇宙中其他星球上有生命存在”这个命题,就是一个我们迄今还不知道其真假的命题。

或真或假是命题的一个基本特征。

在现代哲学、数学、逻辑学、语言学中,命题是指一个判断(陈述)的语义(实际表达的概念),这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断(陈述)本身,而是指所表达的语义。当相异判断(陈述)具有相同语义的时候,他们表达相同的命题。

这三个陈述句表达的意思相同(语义相同),为相同命题。

直言命题

直言命题就是直接陈述对象有无某种性质。直言命题是由主谓式语句表达的命题。

主谓结构:名词/代词+动词/形容词,即“谁 + 做什么/是什么/怎么样”。

直言命题是关联两个类(范畴)的命题。

标准形式的直言命题:所有中国人都是亚洲人。

语法分析:

标准形式的直言命题由四部分组成:

直言命题的一般结构为:量词(量项)+主项+联项+谓项。可以表示为:所有(有的)S是(不是)P。

逻辑分析:

直言命题所断言(可以做出真假判断的言论,姑且为真)的是:叫做主项的类(范畴) 全部或者部分包含在 叫做谓项的类(范畴) 之内,或者排除在其外。

其他理解:

直言命题也称定言命题,即性质命题。在性质命题中:

逻辑史上最早详细研究这类命题的是亚里士多德,但他并没有使用“直言命题”这个名称,而称之为简单命题。后来,康德从认识的模态的角度把这类命题叫做实然(原意为断言)命题。传统逻辑学家一般认为,这类命题与选言命题、假言命题不同,它是无条件地、简单地肯定或否定某种事实,因而被汉译为直言命题。

直言命题的种类

直言命题的对当关系

全肯定、全否定、部分肯定、部分否定四种命题之间存在着一定的真假制约关系,称为对当关系。

如果全肯定直言命题为真,那么可得出:

如果全肯定直言命题为假,那么可得出:

如果部分肯定直言命题为真,那么可得出:

如果部分肯定直言命题为假,那么可得出:

复合命题

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

不含逻辑联结词的简单语句,是简单命题。含逻辑联结词的命题,它们由多个简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题。

常用小写的拉丁字母 p,q,r,s,... 表示命题,上面复合命题的构成形式可以表示为:

非p 也叫做命题 p 的否定。

复合命题中所包含的简单命题也称为支命题。

复合命题的真假

例如,洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,即当两个条件至少有一个满足时,就会停机,相应的电路,就叫做或门电路。

联言命题

“p 且 q”形式的复合命题也被称为联言命题,联结词有“并且”、“且”、“又”等,表示多种情况同时存在。

选言命题

选言命题是由“或者”、“要么”之类的联结词联结而成的复合命题

相容选言命题

联结词有“或者”等,简写为“p 或 q”。

例:他懂英语或汉语。表示“英语”和“汉语”至少懂一种,可能两种都懂。在支命题都为假时,该复合命题为假,即在“他既不懂英语又不懂汉语”为真时该命题为假命题。

命题的形式

假言命题

假言命题指形式为“如果A则B”的复合命题,又称条件命题。

假言命题是判断一种事物情况存在与否是另一种事物情况存在与否的条件的复合判断。例如:

以上三个例子分别判断了事物情况“气温降到摄氏零度以下”、“年满18周岁的公民”和“一个三角形是等边三角形”的存在(或不存在),是事物情况“水就会结冰”、“具有选举权”和“等角三角形”存在(或不存在)的条件。

假言命题由假言支和假言联结词组成。

一个假言命题通常由两个假言支(支命题)组成,其在前的支命题叫做前件,作为判断的条件,用符号“p”表示;其在后的支命题叫做后件,作为判断的结果,用符号“q”表示。

假言联结词是联结前件和后件,并表明假言命题所判断的两种事物情况之间条件关系的逻辑标志,逻辑学把

作为三种典型的假言联结词。

根据假言命题使用的联结词的不同,假言命题分为:充分条件假言命题(如果……那么……)、必要条件假言命题(只有……才……)和充分必要条件假言命题(当且仅当……则……)。

充分条件假言命题

充分条件假言命题是判断前件存在则后件一定存在的假言命题。例如:

“物体摩擦”是“物体就会生热”的充分条件,“天下雨了”是“地就会湿”的充分条件。也就是说,“物体摩擦”条件的存在,就会导致“物体就会生热”结果的存在。

充分条件假言命题可以用多种语言形式表达:如果p,那么q;由p可推出q;因为p,所以q;p是q的充分条件;p能支撑q;p成立,q一定成立。

充分条件假言命题的前后件之间的关系为:有前就有后,有后不一定有前;无前不一定无后,无后必无前。

“若p则q”形式的命题

对于“若p则q”形式的命题:

在两个命题中,

如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题;如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题。即,如果把“若p则q”叫做原命题,那么“若q则p”叫做逆命题。

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题,另一个就叫做原命题的否命题。即,如果把“若p则q”叫做原命题,那么“若┐p则┐q”叫做否命题。

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆否命题。即,如果把“若p则q”叫做原命题,那么“若┐q则┐p”叫做逆否命题。

一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用┐p和┐q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式就是:

把命题改写成“若p则q”的形式,关键是找出原命题的条件p与结论q。

互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题。

其中,原命题和逆否命题为等价命题,如果原命题成立,则逆否命题成立;逆命题和否命题为等价命题,如果逆命题成立,则否命题成立。

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:

概念与定义判断